Esercizi

1. $kT = 8{,}617 \times 10^{-5}\ \text{eV/K} \times 1{,}5 \times 10^{7}\ \text{K}$ = 1,293 keV.
2. $\mu$ = 0,94016 u, quindi $\mu c^2$ = 875,75 MeV, e $E_G$ = 45,1 MeV (45 106 keV).
3. $E_0$ = 26,6 keV e $\Delta$ = 13,5 keV: la finestra va all'incirca da 20 a 33 keV. $E_0$ vale circa 21 volte $kT$: le reazioni vengono dalla coda lontana della distribuzione termica, dove i protoni sono pochi ma la barriera è un po' più sottile.
4. L'atlante dà 27,4 keV e 14,1 keV a 15,7 MK; riportati a 15 MK diventano 26,6 keV e 13,5 keV, come sopra. L'esploratore dei tassi mostra 26,5 ± 6,8 keV: usa i numeri di massa (14 e 1) per la massa ridotta, e un $\mu$ più piccolo dello 0,7% sposta $E_0$ dello 0,2% ($E_0 \propto \mu^{1/3}$).
5. $\sigma(E) = \dfrac{S}{E}\, e^{-\sqrt{E_G/E}}$, quindi $\dfrac{\sigma(E_0)}{\sigma(70\ \text{keV})} = \dfrac{70}{E_0}\, e^{\sqrt{E_G/70} - \sqrt{E_G/E_0}}$ ≈ 3,7 × 10⁻⁷: circa 2,7 milioni di volte più piccola. Per questo, alle energie del Sole, la sezione d'urto si estrapola (esercizio 3) invece di misurarla.

1. $\sigma = \dfrac{1{,}7\ \text{keV b}}{70\ \text{keV}}\, e^{-\sqrt{E_G/70\ \text{keV}}}$ = 2,3 × 10⁻¹³ b, cioè 0,23 pb (1 pb = 10⁻³⁶ cm²).
2. 200 µA sono 1,25 × 10¹⁵ protoni al secondo. Reazioni al secondo: $\sigma\, n_t\, N_p$ = 2,3 × 10⁻³⁷ cm² × 10¹⁸ cm⁻² × 1,25 × 10¹⁵ s⁻¹ = 2,9 × 10⁻⁴ s⁻¹, cioè 25 al giorno. Rivelate: 0,25 al giorno con l'1% di efficienza, circa 12 al giorno con il 50%. È quello che l'atlante chiama reazioni che avvengono «solo poche volte al giorno».
3. In superficie: 1 cm⁻² min⁻¹ × 100 cm² × 1440 min = 144 000 muoni al giorno. Sotto terra, un milione di volte meno: 0,14 al giorno, uno ogni settimana circa.
4. Con 12 eventi di segnale al giorno, il fondo dei muoni lo eguaglia già se ne finisce nella finestra uno su 11 630 (9 × 10⁻⁵). Un muone che attraversa tutto il cristallo vi lascia decine di MeV, sopra la finestra; ma quelli che ne sfiorano un angolo, e gli elettroni, i fotoni e i neutroni che i muoni producono nella schermatura e nelle pareti, distribuiscono energia su tutto lo spettro. Tenerne meno di uno su diecimila in una finestra di qualche centinaio di keV non è realistico in superficie: per questo il fondo dei muoni «limita la sensibilità per raggi γ fino a qualche MeV» (metodi). Sotto terra il problema sparisce: anche se ogni muone finisse nella finestra, sarebbero 0,14 eventi al giorno contro 12. Il fondo che resta viene dalla radioattività della roccia e dell'apparato, quasi tutto sotto 2,6 MeV (la riga γ più energetica della radioattività naturale, del ²⁰⁸Tl), e dalle reazioni del fascio sulle impurità del bersaglio. Una via di mezzo è il Felsenkeller di Dresda: 45 m di roccia riducono i muoni di un fattore 40, e con un veto attivo il fondo è circa il doppio di quello di un laboratorio profondo (cronologia).
5. Al picco di Gamow, $E_0$ = 26,6 keV, $\sigma$ ≈ 8 × 10⁻²⁰ b: con lo stesso fascio, lo stesso bersaglio e il 50% di efficienza, 2 × 10⁻³ reazioni all'anno, una ogni 604 anni circa. Nessun laboratorio misura lì: alle energie del Sole si arriva estrapolando i dati con la teoria R-matrix, che è l'argomento dell'esercizio 3.

1. Al picco, $E = E_R$: $\sigma \propto 4\Gamma_\gamma/\Gamma_p$, quindi scende di 34/40 = 0,85, −15%. La larghezza del picco è $\Gamma \approx \Gamma_p$: +18%. Lontano dalla risonanza, $(E-E_R)^2 \gg \Gamma^2/4$ e $\sigma \propto \Gamma_p \Gamma_\gamma/(E-E_R)^2$: la coda sale del 18%. Un picco più largo e più basso, con le code più alte.
2. e 3. Con AZURE2 su questa valutazione (calcolato il 13 ottobre 2026; solo $\Gamma_p$ cambiato, tutto il resto come nel file del modello):

Il picco e la larghezza si comportano come prevede la formula a un livello. Il χ²/N del modello è già molto sopra 1 su questa pagina: il file del modello è una versione preliminare che non riproduce ancora il fit migliore pubblicato (lo spiega la nota nella pagina della valutazione). Conta la variazione, non il valore assoluto. E la variazione è enorme: i dati fissano $\Gamma_p$ molto meglio dei 6 keV di cui l'hai spostata. 4. I dati LUNA stanno sul fianco di bassa energia della risonanza, dove il fattore $S$ sale del 10–14% circa (a 300 keV da 6,72 a 7,64 keV b), e hanno incertezze intorno all'1%: in media ogni punto si sposta di circa 17 deviazioni standard (la radice di Δχ²/N), e il χ² cresce col quadrato dello scarto. Alle energie stellari, invece, il fattore $S$ cresce solo del 9%, non del 18%: lì non c'è solo la coda della risonanza ma anche la cattura diretta, che non dipende da $\Gamma_p$, e le due ampiezze si sommano (interferiscono) prima di elevare al quadrato. Cresce solo la parte risonante. 5. Con l'energia spostata di 5 keV il χ² di tutti i dati arriva a 304 958, più che cambiando la larghezza: sui fianchi ripidi di una risonanza larga 34 keV, spostarla di 5 keV cambia il fattore $S$ di molte volte l'incertezza dei dati misurati lì. Per questo l'energia di una risonanza ben misurata è il parametro più vincolato di un fit R-matrix.